Zunächst soll der die Änderung der potententiellen Einergie einer positiven Ladung \(q\) beim Durchwandern des nebenstehend skizzierten Kreises von Punkt A aus betrachtet werden: Im Widerstand \(R_1\) verliert die Ladung die potentielle Energie \(\Delta {E_{\rm{pot, 1}}} = q \cdot {U_1}\), analog geht beim Durchwandern des Widerstandes \(R_2\) die potentielle Energie \(\Delta {E_{\rm{pot, 2}}} = q \cdot {U_2}\) verloren. Beim Durchlaufen der Spannungsquelle gewinnt die Ladung die potentielle Energie \(\Delta {E_{\rm{pot, bat}}} = q \cdot {U_{\rm{bat}}}\). Bei Wiederankunft im Punkt A hat die Ladung wieder die gleiche potentielle Energie wie zu Beginn des Durchlaufs. Fachmännischer ausgedrückt sagt man: "Die Ladung ist wieder auf dem gleichen Potential". Das oben Gesagte wird durch die folgende Gleichung ausgedrückt: \[q \cdot {U_1} + q \cdot {U_2} + q \cdot {U_{\rm{bat}}} = 0\] Dividiert man diese Gleichung durch \(q\), so erhält man: \({U_1} + {U_2} + {U_{\rm{bat}}} = 0\). Kirchhoff-Regeln: Knotenregel + Maschenregel. Diese Gleichung lässt sich nur erfüllen, wenn man für die Spannung positive und negative Werte zulässt.
Inhalt Die kirchhoffschen Gesetze in der Physik Kirchhoffsche Gesetze – Definition Kirchhoffsche Gesetze – Beispiele Die kirchhoffschen Gesetze in der Physik In der Elektrotechnik hat man es oft mit komplizierten Schaltungen zu tun, die schnell sehr unübersichtlich werden. Deswegen ist es nützlich, die kirchhoffschen Regeln zu kennen, mit denen man solche Schaltungen etwas leichter beschreiben kann. Aufgaben kirchhoffsche regeln. Sie dienen zur Analyse der Ströme und Spannungen an sogenannten Knotenpunkten (Punkte, an denen mehrere Leitungen zusammenfließen und sich wieder aufteilen) oder Maschen (beliebige geschlossene Stromschleifen) von Stromkreisen. Wir schreiben zunächst die beiden Regeln auf und betrachten sie anschließend im Detail. Kirchhoffsche Gesetze – Definition 1. kirchhoffsches Gesetz (Knotenregel) An einem Knoten entspricht die Summe der zufließenden Ströme der Summe der abfließenden Ströme. Da die zufließenden Ströme ein positives und die abfließenden ein negatives Vorzeichen haben, ist die Summe über alle Ströme an einem Knotenpunkt null.
Rang: Das lineare Gleichungssystem (3. 14) ist genau dann eindeutig lösbar, wenn der Rang der Matrix R gleich der Anzahl der Zeilen der Matrix ist. Dann ist aber auch die Determinate der Matrix ungleich Null. → Alle Gleichungen sind linear unabhängig! Determinaten: Die Determinante einer 3 × 3 -Koeffizientenmatrix R berechnet sich aus dem Produkt der Hauptdiagonalen minus dem Produkt der Nebendiagonalen zu Gauß: Für die Lösung des linearen Gleichungssystems 3. 8 mit dem gaußschen Eliminationsverfahren wird die Koeffizientenmatrix in Dreiecksform gebrach. Wir multiplizieren daher die 1. Zeile mit ( R 2 + R 3) und die 2. Zeile mit R 3 (3. 16) Wenn wir nun die 2. Zeile von der 1. Kirchhoffsche regeln aufgaben mit. subtrahieren (3. 17) 1. Strom: erhalten wir nun den 1. Teilstrom zu (3. 18) Für die Berechnung des 2. Teilstromes multiplizieren wir nun die 1. Zeile mit R 3 und die 2. Zeile mit ( R 1 + R 3) (3. 19) Wenn wir nun die 1. Zeile von der 2. 20) 2. Strom: erhalten wir den 2. 21) Der gesuchte Strom I R 3 ist dann die Summe dieser beiden Ströme (3.
B. mit dem Eliminationsverfahren von GAUSS liefert \(I = 1{, }0\, \rm{A}\), \({I_2} = 0{, }60\, {\rm{A}}\) und \({I_3} = 0{, }40\, {\rm{A}}\) Berechne die Spannungen, die über den Widerständen \(R_1\), \(R_2\) und \(R_3\) anliegen. Nach dem Gesetz von OHM ergibt sich \[{U_1} = {R_1} \cdot I \Rightarrow {U_1} = 6{, }0\, \Omega \cdot 1{, }0\, {\rm{A}} = 6{, }0\, {\rm{V}}\] \[{U_2} = {R_2} \cdot {I_2} \Rightarrow {U_2} = 8{, }0\, \Omega \cdot 0{, }6\, {\rm{A}} = 4{, }8\, {\rm{V}}\] \[{U_3} = {R_3} \cdot {I_3} \Rightarrow {U_3} = 4{, }0\, \Omega \cdot 0{, }4\, {\rm{A}} = 1{, }6\, {\rm{V}}\] Übungsaufgaben
Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten) Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten. Eine elektrische Schaltung für die Kirchhoff-Regeln. Eine Schaltung (siehe Illustration) besteht aus vier Widerständen \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\) und \(R_4\) sowie zwei Spannungsquellen \(U_{\text a}\) und \(U_{\text b}\). Stelle mithilfe von Kirchhoff-Regeln ein Gleichungssystem für die Ströme auf. Löse das aufgestellte Gleichungssystem (etwas kompliziert! ). Lösungstipps Identifiziere zuerst in der Schaltung alle Knoten und zeichne in die Knoten hinein- und herausfließenden Ströme. Zeichne auch Maschen ein (es sind drei Maschen notwendig). Zu (b): Benutze z. Kirchhoffsche Regeln | Learnattack. B. das Gauß-Verfahren, um das aufgestellte Gleichungssystem zu lösen. Lösungen Lösung für (a) Maschen und Knoten eines Schaltkreises. Bevor die Maschen- und Knotenregel angewendet werden können, wird zuerst die Schaltung beschriftet. Dazu werden die Maschen ausgewählt.
1? Zweige: z = 3, zwischen je zwei Punkten Knoten: k = 2, die beiden schwarzen Punkte Maschen: m = 3, links, rechts und außen herum → Damit ergeben sich 2 Knotengleichungen, 3 Maschengleichungen und 3 Gleichungen aus dem Ohmschen Gesetz, also 8 Gleichungen für 6 Unbekannte. Frage 2: Welche der 8 Gleichungen sind linear unabhängig? Aus dem Ohmschen Gesetz für jeden Zweig ergeben sich z = 3 unabhängige Gleichungen. Bei k = 2 Knoten ist k − 1 = 1 Knotengleichung linear unabhängig. Also müssen von den Maschengleichungen (3. 1) unabhängig sein! Frage 3: Wie findet man alle linear unabhängigen Maschengleichungen? → In dem einfachen Beispiel kann eine beliebige der 3 Maschen weggelassen werden. Praxis: Eine praktische Methode zur Auswahl unabhängiger Maschen ist: Nach Auswahl einer Masche trennt man diese Masche in einem beliebigen Zweig auf. Weitere Maschen dürfen keine aufgetrennten Zweige enthalten. Es werden so viele Maschen gebildet wie möglich sind. 3. 1 Beispiel zu den Kirchhoffschen Gleichungen Ohmsches Gesetz: 3 Gleichungen (3.
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